Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值；
（Ⅲ）求B點到平面EAC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證平面PDC⊥平面PAD，只需要證明：CD⊥平面PAD，根據PA⊥平面ABCDCD?平面ABC，可知PA⊥CD，又AD⊥CD，從而可證；
（Ⅱ）連接AC、EC，取AD中點O，連接EO，則EO∥PA，過O作OF⊥AC交AC于F，連接EF，則∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，進而可求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值；
（Ⅲ）利用V_B-AEC=V_E-ABC，可求B點到平面EAC的距離．
解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCDCD?平面ABC∴PA⊥CD…（2分）
∵ABCD是矩形∴AD⊥CD
而PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD…（4分）
CD?平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD…（5分）
（Ⅱ）連接AC、EC，取AD中點O，連接EO，則EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
過O作OF⊥AC交AC于F，連接EF，則∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．…（7分）
由PA=2，則EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=
因為O是AD的中點，所以…（8分）
而EO=1，由勾股定理可得…（9分）
…（10分）
（Ⅲ）連接BE，在三棱錐B-AEC中，
…（12分）
點E到底面BAC的距離EO=1，
則由V_B-AEC=V_E-ABC，即…（13分）
求得
所以B點到平面EAC的距離是．…（14分）
點評：本題以四棱錐為載體，考查線面、面面位置關系，考查面面角，考查點面距離，關鍵是作出二面角的平面角．