Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（1）若E為PD的中點(diǎn)，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（2）在BC上是否存在一點(diǎn)G，使得D到平面PAG的距離為1？若存在，求出BG；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，推出A，B，C，D，E，P坐標(biāo)
（1）利用cos＜

AE，

PC

＞=

AE • PC

| AE || PC |

，求異面直線AE與PC所成角的余弦值．
（2）假設(shè)存在，設(shè)BG=x，則G（1，x，0），作DQ⊥AG，利用2S_△ADG=S_ABCD，求出x值，說明存在點(diǎn)G滿足題意．

解答：解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
E（0，1，

1

2

），P（0，0，1），

CD

=(-1，0，0)，

AD

=(0，2，0)，

AP

=(0，0，1)，

AE

=(0，1，

1

2

)，

PC

=(1，2，-1)
（1）∵cos＜

AE，

PC

＞=

AE • PC

| AE || PC |

=

30

10

，
所求異面直線AE與PC所成角的余弦值為

30

10

   …（6分）
（2）假設(shè)存在，設(shè)BG=x，則G（1，x，0），
作DQ⊥AG，則DQ⊥平面PAG，即DG=1，
∵2S_△ADG=S_ABCD，
∴|

AG

||

DQ

|=|

AB

||

AD

|，∴AG=

1+x2

=2⇒x=

3

，
故存在點(diǎn)G，當(dāng)BG=

3

時(shí)，D到平面PAG的距離為1．…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求直線間的夾角、距離，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力，計(jì)算能力．