Question

（本題滿分14分）

已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

	1		2
		0	4

（Ⅰ）求的標準方程；

（Ⅱ）過點曲線的的焦點的直線與曲線交于M、N兩點，與軸交于E點，

若為定值。

Answer 1

（本題滿分14分）

解：（Ⅰ）設拋物線，則有，據此驗證個點知（1，）、（2，4）在拋物線上，易求      ………………2分

       設：，把點（，0）（，）代入得：

方程為………………………………………………………5分

（Ⅱ）證明：設點的坐標分別為，

       又易知點的坐標為．且點在橢圓內, 故過點的直線l必與橢圓相交．

         ∵， ∴．

         ∴ ，．   ………………………………………………8分

       將M點坐標代入到橢圓方程中得：，

       去分母整理，得． ………………………………………10分

       同理，由可得：． ………………………12分

       ∴ ，是方程的兩個根， ∴ ．………14分