Question

設x∈R，用[x]表示不超過x的最大值整數，則y=[x]稱為高斯函數，下列關于高斯函數的說法正確的有

 

①[-x]=-[x]
②x-1＜[x]≤x
③?x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]
④?x≥0，y≥0，[xy]≤[x][y]
⑤離實數x最近的整數是-[-x+

1

2

]．

Answer 1

分析：根據高斯函數的定義，分別進行判斷即可．

解答：解：①若x=

1

2

，則[-x]═[-

1

2

]=-1，[x]=[

1

2

]=0，∴①錯誤．
②若x是整數，則[x]=x，此時不等式x-1＜[x]≤x成立，
若x不是整數，則根據定義可知[x]＜x，且[x]＞x-1，
此時不等式x-1＜[x]≤x，成立，∴②正確．
③?x，y∈R，x-1＜[x]≤x，y-1＜[y]≤y，
x+y-1＜[x+y]≤x+y，
若x，y至少含有一個整數，則，[x]+[y]=[x+y]成立．
若x，y都不是整數，則[x]+[y]＜[x+y]，
綜上：[x]+[y]≤[x+y]，∴③正確．
④?x≥0，y≥0，
當x=

1

2

，y=4時，[x]=0，[y]=4，xy=2，
即[xy]=2，此時，[xy]≤[x][y]不成立，
∴④錯誤．
⑤∵-[-x+

1

2

]=[x-

1

2

]，則根據高斯函數的定義可知，而此時離實數最近的整數是1，
若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

，（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，
則m-1＜x-

1

2

≤m，
∴，離實數x最近的整數是m=[x-

1

2

]．
故⑤正確．
故答案為：②③⑤

點評：本題主要考查高斯函數的定義及應用，正確理解題意是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．