Question

己知點F為拋物線C：y²=x的焦點，斜率為1的直線l交拋物線于不同兩點P，Q．以F為圓心，以FP，FQ為半徑作圓，分別交x軸負半軸于M，N，直線PM，QN交于點T．
（I）判斷直線PM與拋物線C的位置關系，并說明理由；
（II）連接FT，FQ，FP，記S₁=S_△PFT，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT設直線l在y軸上的截距為m，當m何值時，取得最小值，并求出取到最小值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出P，Q的坐標，求出直線PM的方程，代入拋物線方程，利用判別式可得結論；
（II）將直線PQ：y=x+m代入y²=x可得y²-y+m=0，計算點F到直線PT的距離，點Q到直線PT的距離，從而可得=，同理沒勁兒可得，令t=，則，利用導數法，即可求出的最小值，從而可得取到最小值時直線l的方程．
解答：解：（I）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意及拋物線的定義知：M（-x₁，0），N（-x₂，0），
∴
∴直線PM：y-y₁=，即
代入y²=x可得
∵
∴直線PM與拋物線C相切；
（II）直線PQ：y=x+m代入y²=x可得y²-y+m=0
∴y₁+y₂=1，y₁y₂=m
點F到直線PT的距離；點Q到直線PT的距離
∴=，同理
又直線PM與QN的交點T，∴
∴
∴
令t=，∴
∵
∴f（t）在上單調遞減，在上單調遞增
∴，此時，即直線l的方程為
綜上可知，的最小值為，取到最小值時直線l的方程為．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形的面積，考查導數法求函數的最值，解題的關鍵是構建函數關系式，屬于中檔題．