Question

已知：函數(shù).（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…〉.
(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2) 當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)的極值；
(3)若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是否總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)寫出判斷過程.

Answer 1

解析：
（1）
所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1
故所求切線方程為……………………..2分
（2）當(dāng)時(shí)恒成立，函數(shù)定義域?yàn)镽
又單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增
所以函數(shù)的極大值為，極大值為…………………..5分
（3）①當(dāng)時(shí)
法一：因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以其最小值為，而函數(shù)在的最大值為1，所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..6分
法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232045064481000.png" style="vertical-align:middle;" />
而當(dāng)時(shí)，
又，，即當(dāng)時(shí)成立
所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..6分
②當(dāng)時(shí)，
法一：仿上可得函數(shù)在上時(shí)，上述結(jié)論仍然成立……………..7分
法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232045070881128.png" style="vertical-align:middle;" />，由（2）知
而當(dāng)時(shí)
又，，即當(dāng)時(shí)成立……………..7分
而當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)遞減，其最小值為
所以，下面判斷的關(guān)系，即判斷的關(guān)系，
令
單調(diào)遞增

使得
上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增……………………………..10分
所以

即也即
所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..12分

略