Question

一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
(2)設(shè)過(guò)圓心的直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)（為圓的圓心）的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）．
(2)存在直線,的內(nèi)切圓M的面積最大值為

1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為．
由題意，得，，．    …………3分
由橢圓定義知在以為焦點(diǎn)的橢圓上，且，
．
動(dòng)圓圓心M的軌跡的方程為．……6分
(2) 如圖,設(shè)內(nèi)切圓N的半徑為,與直線的切點(diǎn)為C，

則三角形的面積
=
當(dāng)最大時(shí),也最大, 內(nèi)切圓的面積也最大, …………7分
設(shè)、(),則, ……8分
由,得,
解得,,   …………10分
∴,令,則,且,
有,令,則,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,有,,
即當(dāng),時(shí),有最大值,得,這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為,
∴存在直線,的內(nèi)切圓M的面積最大值為.          …………14分