Question

已知函數f(x)=log

1

2

(x2-mx-m)
（1）若m=1，求函數f（x）的定義域．
（2）若函數f（x）的值域為R，求實數m的取值范圍．
（3）若函數f（x）在區間(-∞，1-

3

)上是增函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要使函數有意義，只需真數大于零，解不等式即可得函數的定義域；
（2）若函數的值域為R，則真數應能取遍一切正數，只需y=x²-mx-m的判別式不小于零，即可解得m的范圍；
（3）函數f（x）在區間(-∞，1-

3

)上是增函數包含兩層含義，y=x²-mx-m在區間(-∞，1-

3

)上是減函數且x²-mx-m＞0在區間(-∞，1-

3

)上恒成立，分別利用二次函數的圖象和性質和單調性即可解得m的范圍

解答：解：（1）若m=1，則f(x)=log

1

2

(x2-x-1)
要使函數有意義，需x²-x-1＞0，解得x∈(-∞，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)
∴若m=1，函數f（x）的定義域為(-∞，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)．
（2）若函數f（x）的值域為R，則x²-mx-m能取遍一切正實數，
∴△=m²+4m≥0，即m∈（-∞，-4]∪[0，+∞）
∴若函數f（x）的值域為R，實數m的取值范圍為（-∞，-4]∪[0，+∞）
（3）若函數f（x）在區間(-∞，1-

3

)上是增函數，
則y=x²-mx-m在區間(-∞，1-

3

)上是減函數且x²-mx-m＞0在區間(-∞，1-

3

)上恒成立，
∴

m

2

≥1-

3

，且（1-

3

）²-m（1-

3

）-m≥0
即m≥2-2

3

且m≤2
∴m∈[2-2

3

，2]

點評：本題主要考查了對數函數的圖象和性質，函數定義域的求法，函數值域的意義，復合函數的單調性，不等式恒成立問題的解法，屬基礎題