Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，若過(guò)兩點(diǎn)（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過(guò)a的取值，求出函數(shù)的根，然后通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的根，判斷a的范圍，進(jìn)而解出直線l的方程，利用l與x軸的交點(diǎn)為（x₀，0），可解出a的值．

解答：解：（1）f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1．
①當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0，
且僅當(dāng)a=1，x=-1時(shí)，f′（x）=0，
所以f（x）是R上的增函數(shù)；
②當(dāng)a＜1時(shí)，f′（x）=0，有兩個(gè)根，
x₁=-1-

1-a

，x₂=-1+

1-a

，
當(dāng)x∈(-∞，-1-

1-a

)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
當(dāng)x∈(-1-

1-a

，-1+

1-a

)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
當(dāng)x∈(-1+

1-a

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
（2）由題意x₁，x₂，是方程f′（x）=0的兩個(gè)根，
故有a＜1，x12=-2x1-a，x22=-2x2-a，
因此f(x1)=

1

3

x13+x12+ax1=

1

3

x1(-2x1-a) +x12+ax1
=

1

3

x12+

2

3

ax1
=

1

3

(-2x1-a)  +

2

3

ax1=

2

3

(a-1) x1-

1

3

a，
同理f(x2)=

2

3

(a-1)x2-

1

3

a．
因此直線l的方程為：y=

2

3

(a-1)x -

1

3

a．
設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為（x₀，0）得x₀=

a

2(a-1)

，
f(x0)=

1

3

[

a

2(a-1)

]3+[

a

2(a-1)

]2+a

a

2(a-1)

=

a2

24(a-1)3

(12a2-17a+6)，
由題設(shè)知，點(diǎn)（x₀，0）在曲線y=f（x）上，故f（x₀）=0，
解得a=0，或a=

2

3

或a=

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查分類討論，函數(shù)與方程的思想，考查計(jì)算能力．