Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）記，試判斷在區(qū)間內(nèi)零點個數(shù)并說明理由；

（2）記（1）中的在內(nèi)的零點為，，若在有兩個不等實根，判斷與的大小，并給出對應(yīng)的證明.

Answer 1

【答案】（1）一個零點，理由見解析；（2），證明見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)得到在區(qū)間上是增函數(shù)，，，并且在上連續(xù)的，由零點定理即得解；（2）先求出當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，是單調(diào)遞減函數(shù),轉(zhuǎn)化成證明，即轉(zhuǎn)化成證明.

（1）由題意：，

那么，定義域為，，

由題設(shè)，故，即在區(qū)間上是增函數(shù).

那么，，并且在上連續(xù)的，

故根據(jù)零點存在定理，有在區(qū)間有且僅有唯一實根，即一個零點.

（2），

當(dāng)時，恒大于，

所以當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)時，恒小于，是單調(diào)遞減函數(shù).在有兩個不等實根，

則，，顯然：當(dāng)時，.

要證明，即可證明，

而在時是單調(diào)遞減函數(shù).故證.

又由，即可證：.即，（構(gòu)造思想），

即，

令，由（1）可知：，

那么：，

記，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；故；

而；故，而，從而有：；

因此：，即單增，從而時，，

即成立.故得：.