Question

已知拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
（Ⅰ）若點（2，2

2

）在拋物線上，求拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若過焦點F且傾斜角為60°的直線m交拋物線于A、B兩點，點M在拋物線的準線l上，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，求證：k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據（2，2

2

）在拋物線y²=2px（p＞0）上，可得p=2，從而可求拋物線的焦點坐標與準線l的方程；
（Ⅱ）過焦點F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為y=

3

（x-1）與拋物線方程聯立，可得點A、B的坐標，設點M的坐標為M（-1，t），即可證得k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．

解答：（Ⅰ）解：∵（2，2

2

）在拋物線y²=2px（p＞0）上，
∴由（2

2

）²=2p×2得p=2
∴拋物線的焦點坐標為F（1，0），準線l的方程為x=-1
（Ⅱ）證明：過焦點F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為y=

3

（x-1），與拋物線方程聯立，消元可得3x²-10x+3=0，
∴x₁=3，x₂=

1

3

，
∴點A、B的坐標為A（3，2

3

），B（

1

3

，-

2 3

3

）
∵拋物線的準線方程為x=-1，設點M的坐標為M（-1，t），
則k_MA=

2 3 -t

4

，k_MB=-

2 3 +3t

4

，k_MF=-

t

2

∴k_MA+k_MB=

2 3 -t

4

-

2 3 +3t

4

=-t=2k_MF，
∴k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．