Question

已知拋物線方程為y²=4x，過Q（2，0）作直線l．
①若l與x軸不垂直，交拋物線于A、B兩點，是否存在x軸上一定點E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由？
②若L與X軸垂直，拋物線的任一切線與y軸和L分別交于M、N兩點，則自點M到以QN為直徑的圓的切線長|MT|為定值，試證之．

Answer 1

分析：①對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在x軸上一定點E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ，再利用設l的方程為：y=k（x-2），，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用斜率公式即可求得m值，從而解決問題．
②設P（x₀，y₀）在拋物線上，由拋物線的對稱性，不妨設y₀＞0，寫出切線方程，求出以QN為直徑的圓的圓心坐標，最后計算出以QN為直徑的圓的切線長|MT|為定值即可．

解答：解：①設l的方程為：y=k（x-2），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-2) y2=4x

消去

k

4

y2-y-2k=0得：

k

4

y2-y-2k=0，y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-8（2分）
若∠AEQ=∠BEQ，則k_AE+k_BC=0（3分）
即：

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0?y1(x2-m)+y2(x1-m)=0（4分）?y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0?y1•

y22

4

+y2•

y12

4

-m(y1+y2)=0?-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0?m=-2（6分）
故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ（7分）
②設P（x₀，y₀）在拋物線上，由拋物線的對稱性，不妨設y₀＞0，則過P點的切線斜率k=(2

x

)′|x=x0=

1

x0

，切線方程為：y-y0=

1

x0

(x-x0)，且y0=2

x0

（9分）
令x=0?y=y0-

x0

=

x0

，∴M(0，  

x0

)
令x=2?y=y0+

2

x0

-

x0

=

x0

+

2

x0

，∴N(2，  

x0

+

2

x0

)（10分）
則以QN為直徑的圓的圓心坐標為O′(2，  

x0

2

+

1

x0

)，半徑r=

x0

2

+

1

x0

（11分）
∴|MT|2=|MO′|2-r2=22+(

x0

2

+

1

x0

-

x0

)2-(

x0

2

+

1

x0

)2=22+(

1

x0

-

x0

2

)2-(

1

x0

+

x0

2

)2=4-1-1=2
∴|MT|=

2

（13分）

點評：本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．注意①的處理存在性問題的一般方法，首先假設存在，進而根據題意、結合有關性質，化簡、轉化、計算，最后得到結論．