Question

已知數列的首項，且對任意都有（其中為常數）.
（1）若數列為等差數列，且，求的通項公式.
（2）若數列是等比數列，且，從數列中任意取出相鄰的三項，均能按某種順序排成等差數列，求的前項和成立的的取值的集合.

Answer 1

（1）或；（2）{2,4,6,8} .

試題分析：（1）對實數分類討論，①，；②時，根據等差數列的定義，可知，公差，則；（2）若數列為等比數列，則，即，因此（注意是容易漏掉的）或， 在這情況下，可得，故不滿足，因此只有滿足條件，由任相鄰的三項均能按某種順序排成等差數列，可分為以下三種情況：①；②；③，分別求出看是否滿足條件，由滿足條件的結合確定的取值的個數.
（1）當 時，符合題意，
當時，由于數列是等差數列且，所以為常數，故，得，
所以，或．（6分）（只求得一個得3分）
（2）由數列為等比數列，所以得
或， （8分）
若得，故不滿足
所以，得.
由任相鄰的三項均能按某種順序排成等差數列，即
若得（舍）.
若得（舍）或（舍），
若得舍或，
故得
 即所求值的集合為{2,4,6,8} （13分）