Question

【題目】已知函數f（x）=aex圖象在x=0處的切線與函數g（x）=lnx圖象在x=1處的切線互相平行．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）設直線x=t（t＞0）分別與曲線y=f（x）和y=g（x）交于P，Q兩點，求證：|PQ|＞2．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=1；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義可知，在某點處的切線的斜率即為該點處的導數值；

（Ⅱ）由題意|PQ|=|et-lnt|，構造新函數h（x）=ex-lnx，x＞0，，利用導數求解新函數的最小值，可證結論.

（Ⅰ）由f（x）=aex，得f（x）=aex，所以f（0）=a，

由g（x）=lnx，得，所以g（1）=1，由已知f（0）=g（1），得a=1，

經檢驗，a=1符合題意．

（Ⅱ）由題意|PQ|=|et-lnt|，t＞0，設h（x）=ex-lnx，x＞0，

則，設，

則，所以（x）在區間（0，+∞）單調遞增，

又（1）=e-1＞0，，所以（x）在區間（0，+∞）存在唯一零點，

設零點為x0，則，且．

當x∈（0，x0）時，h（x）＜0；當x∈（x0，+∞），h（x）＞0．

所以，函數h（x）在（0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，

，由，得lnx0=-x0，

所以，由于，h（x0）＞2．

從而h（x）＞2，即ex-lnx＞2，也就是et-lnt＞2，|et-lnt|＞2，

即|PQ|＞2，命題得證．