Question

如圖，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠A₁AB＝∠A₁AC，AB＝AC，側面B₁BCC₁與底面ABC所成的二面角為120°，E、F分別是棱CB₁、AA₁的中點．

(1)AA₁求與底面ABC所成的角；

(2)證明EA₁∥平面B₁FC；

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：過A1作平面A1H⊥平面ABC，垂足為H．連接AH，并延長BC交于G，連接EG，于是∠A1AH為A1A與底面ABC所成的角． 　　因為∠A1AB＝∠A1AC，所以AG為的∠BAC平分線 　　又因為AB＝AC，所以AG⊥BC，且G為BC的中點 　　因此，由三垂線定理A1A⊥BC 　　因為A1A∥B1B，且EG∥B1B，所以EG⊥BC，于是為∠AGE二面角A－BC－E的平面角，即∠AGE＝120°，由于四邊形A1AGE為平行四邊形，得∠A1AG＝60° 　　所以，A1A與底面ABC所成的角度為60° 　　(II)證明：設EG與B1C的交點為P，則點P為EG的中點，連結PF． 　　在平行四邊形AGEA1中，因為F是A1A的中點，∴A1F∥EP且A1F＝EP∴A1FPE為平行四邊形∴A1E∥FP，而FP平面B1FC，平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC