Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC，AB=AC，A₁A=A₁B=a，側面B₁BCC₁與底面ABC所成的二面角為120°，E、F分別是棱B₁C₁、A₁A的中點
（Ⅰ）求A₁A與底面ABC所成的角；
（Ⅱ）證明A₁E∥平面B₁FC；
（Ⅲ）求經過A₁、A、B、C四點的球的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求A₁A與底面ABC所成的角，先作出直線與平面所成的角，通過解三角形即可．
（Ⅱ）要證明A₁E∥平面B₁FC，可以在平面B₁FC中作出直線FP（P為CB₁的中點），證明A₁E∥FP即可．
（Ⅲ）求經過A₁、A、B、C四點的球的體積，找到球心H，求出球的半徑，即可．

解答：解：（Ⅰ）過A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足為H．
連接AH，并延長交BC于G，于是∠A₁AH為A₁A與底面ABC所成的角．
∵∠A₁AB=∠A₁AC，∴AG為∠BAC的平分線．
又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G為BC的中點．
因此，由三垂線定理A₁A⊥BC．
∵A₁A∥B₁B，且EG∥B₁B，∴EG⊥BC．
于是∠AGE為二面角A-BC-E的平面角，
即∠AGE．
由于四邊形A₁AGE為平行四邊形，得∠A₁AG=60°．

（Ⅱ）證明：設EG與B₁C的交點為P，則點P為EG的中點．連接PF．
在平行四邊形AGEA₁中，因F為A₁A的中點，故A₁E∥FP．
而FP?平面B₁FC，A₁E?平面B₁FC，所以A₁E∥平面B₁FC．
（Ⅲ）連接A₁C．在△A₁AC和△A₁AB中，由于AC=AB，∠A₁AB=∠A₁AC，A₁A=A₁A，
則△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B．由已知得A₁A=A₁B=A₁C=a．
又∵A₁H⊥平面ABC，∴H為△ABC的外心．
設所求球的球心為O，則O∈A₁H，且球心O與A₁A中點的連線OF⊥A₁A．
在Rt△A₁FO中，A₁O=

A1F

cosAA1H

=

1 2 a

cos30°

=

3 a

3

．
故所求球的半徑R=

3

3

a，球的體積V=

4

3

πR³=

4 3

27

πa³．

點評：本題考查棱柱的結構特征，考查空間想象能力和邏輯思維能力，直線與歐美所成的角等有關知識，是難題．