Question

已知定義域為R的二次函數(shù)f（x）的最小值為0且有f（1+x）=f（1-x），直線g（x）=4（x-1）被f（x）的圖象截得的弦長為，數(shù)列{a_n}滿足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（I）求函數(shù)f（x）；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）設，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）設f（x）=a（x-1）²（a＞0），則直線g（x）=4（x-1）與y=f（x）圖象的兩個交點為（1，0），，由 ，由此得到f（x）．
（II）由（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，知（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，所以a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（III）先表示出數(shù)列{b_n}的通項，再用錯位相減法求和．
解答：解：（I）設f（x）=a（x-1）²（a＞0），則直線g（x）=4（x-1）與與y=f（x）圖象的兩個交點為（1，0），…（2分）
∵∴a=1，f（x）=（x-1）²…（4分）
（II）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0…（5分）
∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0…（6分）
∴a_n+1-1=-1=1
數(shù)列{a_n-1}是首項為1，公比為的等比數(shù)列…（8分）
∴+1…（9分）

∴


=

點評：本題以函數(shù)為載體，考查數(shù)列知識，考查函數(shù)的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．