Question

已知定義域為R的二次函數f（x）的最小值為0且有f（1+x）=f（1-x），直線g（x）=4（x-1）被f（x）的圖象截得的弦長為4

17

，數列{a_n}滿足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（I）求函數f（x）；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）設bn=

(an-1)g(n)

4

，(n∈N*)，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）設f（x）=a（x-1）²（a＞0），則直線g（x）=4（x-1）與y=f（x）圖象的兩個交點為（1，0），(

4

a

+1，

16

a

)，由

( 4 a )2+( 16 a )2

=4

17

(a＞0)，由此得到f（x）．
（II）由（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，知（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，所以a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（III）先表示出數列{b_n}的通項，再用錯位相減法求和．

解答：解：（I）設f（x）=a（x-1）²（a＞0），則直線g（x）=4（x-1）與與y=f（x）圖象的兩個交點為（1，0），(

4

a

+1，

16

a

)…（2分）
∵

( 4 a )2+( 16 a )2

=4

17

 (a＞0)∴a=1，f（x）=（x-1）²…（4分）
（II）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0…（5分）
∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0…（6分）
∴a_n+1-1=

3

4

(an-1)，a1-1=1
數列{a_n-1}是首項為1，公比為

3

4

的等比數列…（8分）
∴an-1=(

3

4

)n-1，an=(

3

4

)n-1+1…（9分）
(III)∵bn=

(an-1)g(n)

4

=

( 3 4 )n-1•4(n-1)

4

=(n-1)•(

3

4

)n-1…(10分)
∴Tn=1•(

3

4

)1+2•(

3

4

)2+3•(

3

4

)3+…+(n-1)•(

3

4

)n-1

3

4

Tn=1•(

3

4

)2+2•(

3

4

)3+3•(

3

4

)4+…+(n-1)•(

3

4

)n
相減，得

1

4

Tn=(

3

4

)1+(

3

4

)2+(

3

4

)3+…+(

3

4

)n-1-(n-1)•(

3

4

)n
=

3 4 [1-( 3 4 )n-1]

1- 3 4

-(n-1)•(

3

4

)n=3-3•(

3

4

)n-1-(n-1)•(

3

4

)n(13分)
Tn=12-4(n+3)(

3

4

)n…(14分)

點評：本題以函數為載體，考查數列知識，考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．