Question

已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示，給出關于f（x）的下列命題：

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	0	2	1

①函數y=f（x）在x=2取到極小值；
②函數f（x）在[0，1]是減函數，在[1，2]是增函數；
③當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點；
④如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最小值為0．
其中所有正確命題是

①③④

（寫出正確命題的序號）．

Answer 1

分析：由導數圖象可得當-1＜x＜0，2＜x＜4時，f′（x）＞0，此時函數單調遞增，
當0＜x＜2，4＜x＜5時，f′（x）＜0，此時函數單調遞減，根據函數的單調性和極值，最值之間的關系進行判斷．

解答：解：由圖象可知當-1＜x＜0，2＜x＜4時，f′（x）＞0，此時函數單調遞增，
當0＜x＜2，4＜x＜5時，f′（x）＜0，此時函數單調遞減，
所以當x=0或x=4時，函數取得極大值，當x=2時，函數取得極小值．
所以①正確．
②函數在[0，2]上單調遞減，所以②錯誤．
③因為x=0或x=4時，函數取得極大值，當x=2時，函數取得極小值．
所以f（0）=2，f（4）=2，f（2）=0，
因為f（-1）=f（5）=1，所以由函數圖象可知當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點；正確．
④因為函數在[-1，0]上單調遞增，且函數的最大值為2，
所以要使當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，則t≥0即可，所以t的最小值為0，所以④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查函數的單調性和導數之間的關系，考查學生的推理能力，利用數形結合是解決此類問題的基本方法．