Question

【題目】已知焦點在y軸上的拋物線過點，橢圓的兩個焦點分別為，，其中與的焦點重合，過點與的長軸垂直的直線交于A，B兩點，且，曲線是以坐標原點O為圓心，以為半徑的圓.

（1）求與的標準方程；

（2）若動直線l與相切，且與交于M，N兩點，求的面積S的最小值.

Answer 1

【答案】（1）：；：；（2）

【解析】

（1）設的方程為，將點代入，可求出方程，及坐標，再由，可求出橢圓方程；由是以坐標原點O為圓心，以為半徑的圓，求出半徑的值，即可得到的標準方程；

（2）由動直線l與相切，可知圓心到直線的距離為1，從而可得的面積，根據直線的斜率存在和不存在兩種情況，分別討論，并結合韋達定理及弦長公式，可求出的面積S的表達式，進而求出最小值即可.

（1）由題意，設的方程為，則，解得，即為，，

設橢圓的方程為，焦點為，將代入橢圓方程可得，

由，解得，故的方程為，

由，可知圓的圓心為，半徑為1，故的方程為.

（2）由動直線l與相切，可知圓心到直線的距離為1，所以的面積.

若的斜率不存在，其方程為，將代入的方程，可得，則，此時；

若的斜率存在，設方程為，則，整理得，

聯立，消去得，

則恒成立，

設，，則，，

則，

將代入，可得，

令，則，

所以，

令，，函數在上單調遞減，即，

故.

因為，所以的面積S的最小值為.