Question

若直線y=x+b與曲線y=

4x-x2

-1有公共點，則b的取值范圍是

[-5，2

2

-3]

．

Answer 1

分析：先整理C的方程可知曲線C的圖象為半圓，要滿足僅有一個公共點，有兩種情況，一種是與半圓相切，根據原點到直線的距離為半徑3求得b，一種是與半圓相交但只有一個交點，根據圖象可分別求得b的上限和下限，最后綜合可求得b的范圍．

解答：解：依題意可知曲線C的方程可整理成（y+1）²+（x-2）²=4（y≥-1），要使直線l與曲線c僅有公共點
①直線與半圓相切，原心（2，-1）到直線y=x+b的距離為2
d=

|3+b|

2

=2，因為b＜0，
可得b=-3+2

2

，滿足題意；
②直線y=x+b過半圓的右頂點（4，-1）可得b=-5，
綜上：-5≤b≤-3+2

2

；
故答案為：-5≤b≤-3+2

2

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系，考查了學生對數形結合思想，分類討論思想，轉化和化歸的思想的綜合運用，是一道好題；