Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點A (0，)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關于y = x對稱．

    （1）求雙曲線C的方程；

    （2）若Q是雙曲線線C上的任一點，F₁，F₂為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程；

    （3）設直線y = mx + 1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線l經過M (–2，0)及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

x² – y² = 1 ，x² + y² = 1 (x≠)，(–∞，– 2 –)∪(2，+∞)

解析:

解：設雙曲線C的漸近線為y = kx，即kx – y = 0．

∵漸近線與x² + (y – )² = 1相切，∴，∴雙曲線C的漸近線為y = ±x，∴設雙曲線方程為x² – y² = a²．∵A (0，)關于y = x的對稱點為(，0)，∴由題意知，雙曲線的一個焦點為(，0)，

∴C = ．∴2a² = 2，a² = 1，∴雙曲線C的方程為x² – y² = 1．

（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT| = |QF₁|；若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點T，使|QT| = |QF₁|．根據雙曲線的定義，|TF₂| = 2．∴T在以F₂ (，0)為圓心，2為半徑的圓上，∴點T的軌跡方程是(x –)² + y² = 4 (x≠0)  ①

易知，點N是線段F₁T的中點．

設N (x，y)，T (x₀，y₀)，則代入①得，N點的軌跡方程為

x² + y² = 1 (x≠)

（3）由得 (1 – m²) x² – 2mx – 2 = 0，依題意有

∵AB中點為，∴l的方程為y = ．

令x = 0得  b =    

∵m∈(1，) ∴–2(m – )² + ∈(–2 + ，1)   

∴b的范圍是(–∞，– 2 –)∪(2，+∞)．