Question

【題目】如圖，在三棱錐中，頂點在底面上的射影在棱上，，，，為的中點。

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）已知是平面內一點，點為中點，且平面，求線段的長。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標系，求得半平面的法向量，利用法向量計算余弦值即可；

(Ⅲ)利用空間向量求得點Q的坐標，然后結合點P的坐標可得線段的長.

（Ⅰ）∵頂點在底面上的射影在棱上，

∴平面平面，

∵，∴，

∵平面平面，∴平面，面，∴，

由，，得，∴，

∵，∴平面．

（Ⅱ）連結，分別以、、為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，

，，，，，，

，，，

設為平面的一個法向量，則，

取，得，

，，

設平面的法向量，則，

取，則，

設二面角的平面角為，則．

∴二面角的余弦值為．

（Ⅲ）設，，

因為平面，所以

所以，，所以．