Question

設函數f(x)=loga(1-

a

x

)，其中0＜a＜1，
（1）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）利用減函數的定義即可證明；
（2）化成同底的對數式，利用對數函數的單調性可得真數的大小關系，解出即可．

解答：（1）證明：由1-

a

x

＞0，得x＞a，所以函數f（x）的定義域為（a，+∞）．
設a＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=loga(1-

a

x1

)-loga(1-

a

x2

)，
因為(1-

a

x1

)-(1-

a

x2

)=

a(x1-x2)

x1x2

＜0，所以1-

a

x1

＜1-

a

x2

，
又0＜a＜1，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）是（a，+∞）上的減函數；
（2）f（x）＞1，即loga(1-

a

x

)＞1，也即即loga(1-

a

x

)＞log_aa，
又0＜a＜1，所以0＜1-

a

x

＜a，解得a＜x＜

a

1-a

．
所以不等式的解集為：（a，

a

1-a

）．

點評：本題考查對數函數的單調性及其應用，相關性質是解決基礎．