Question

已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，直線l過A(a,0)，B(0，－b)兩點，原點O到直線l的距離是.

(1)求雙曲線的方程；

(2)過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若·＝－23，求直線m的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）－y²＝1；（2）y＝x－1.

【解析】本試題主要考查雙曲線的性質和方程的求解和運用，并利用向量為工具，求解直線與雙曲線的位置關系的綜合運用。

解：(1)依題意，l方程＋＝1，即bx－ay－ab＝0，由原點O到l的距離為，得＝＝，

又e＝＝，∴b＝1，a＝.   故所求雙曲線方程為－y²＝1.

(2)顯然直線m不與x軸垂直，設m方程為y＝kx－1，

則點M、N坐標(x₁，y₁)，(x₂，y₂)

是方程組y＝kx－1，－y²＝1的解，

消去y，得(1－3k²)x²＋6kx－6＝0.①

依題意，1－3k²≠0，由根與系數關系，

知x₁＋x₂＝，x₁x₂＝

·＝(x₁，y₁)·(x₂，y₂)＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(kx₁－1)(kx₂－1)

＝(1＋k²)x₁x₂－k(x₁＋x₂)＋1＝－＋1＝＋1.

又∵·＝－23，

∴＋1＝－23，k＝±，

當k＝±時，方程①有兩個不相等的實數根，

所以所求直線方程為y＝x－1.