Question

已知函數f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數，若函數f（x）在區間[1，+∞）內調遞增，則a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，1]
• B、（-∞，-1]
• C、[1，+∞）
• D、[-1，+∞）

Answer 1

分析：先由函數求導，再由“函數f（x）在區間[1，+∞）內調遞增”轉化為“f′（x）≥0在區間[1，+∞）內恒成立”即

1

x

-

1

ax2

≥0在區間[1，+∞）內恒成立，再令t=

1

x

∈（0，1]轉化為：-

1

a

t2+t≥0在區間（0，1]內恒成立，用二次函數法求其最值研究結果．

解答：解：∵函數f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零
∴f′（x）=

1

x

-

1

ax2

∵函數f（x）在區間[1，+∞）內調遞增，
∴f′（x）≥0在區間[1，+∞）內恒成立，
∴

1

x

-

1

ax2

≥0在區間[1，+∞）內恒成立，
令t=

1

x

∈（0，1]
∴-

1

a

t2+t≥0在區間（0，1]內恒成立，
∴-

1

a

+1≥0
∴a≥1
故選C

點評：本題主要考查導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數是增函數時，導數大于等于零恒成立，當函數是減函數時，導數小于等于零恒成立，然后轉化為求相應函數的最值問題．