Question

有下列命題中假命題的序號是

①④

①x=0是函數y=x³的極值點；
②三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值點的充要條件是b²-3ac＞0；
③奇函數f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在區間（-4，4）上單調遞減．
④若雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x，則其離心率為2．

Answer 1

分析：①用極值點的定義的來判斷；②通過導數有不等根來判斷；③用f′（x）＜0，x∈（-4，4）恒成立來判斷；④若雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x，則

b

a

=

3

或

a

b

=

3

，可求離心率．

解答：解：①取導函數，可得y′=3x²≥0，∴函數在R上單調遞增，∴函數無極值點，故是假命題；
①求導函數，可得f′（x）=3ax²+2bx+c，∴三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值點的充要條件是導數有不等根，即4b²-12ac＞0，即b²-3ac＞0，故是真命題；
③∵函數是奇函數，∴f（-x）=f（x），求得m=1，n=0，∴f′（x）=3x²-48＜0x∈（-4，4）恒成立
∴f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在區間（-4，4）上是單調減函數，故是真命題；
④若雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x，則

b

a

=

3

或

a

b

=

3

，∴其離心率為2或

2 3

3

，故是假命題．
故答案為①④

點評：本題考查函數的極值與單調性，考查雙曲線的幾何性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．