Question

已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點F₁，F₂，且頂點P（0，b）滿足．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過拋物線x²=12y焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，若，求實數λ的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線的焦點F₁（-，0），F₂（），知橢圓的焦點F₁（-，0），F₂（），由此能求出橢圓的方程．
（2）設直線AB的方程為y=kx+3，聯立方程組，得（4+9k²）x²+54kx+45=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，知，，由此能求出實數λ的范圍．
解答：解：（1）∵雙曲線的焦點F₁（-，0），F₂（），
∴橢圓的焦點F₁（-，0），F₂（），
∴a²-b²=5．
∵橢圓的頂點P（0，b）滿足，
∴，
解得a²=9，
∴b²=4，
故橢圓的方程為：．
（2）設直線AB的方程為y=kx+3，
聯立方程組，
得（4+9k²）x²+54kx+45=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，
∴，①
，②
由①得，③
③÷②，得，
∴，
整理，得5λ²-26λ+5≤0，
∴．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．