Question

【題目】已知數列、、滿足，．

（1）若數列是等比數列，試判斷數列是否為等比數列，并說明理由；

（2）若恰好是一個等差數列的前項和，求證：數列是等差數列；

（3）若數列是各項均為正數的等比數列，數列是等差數列，求證：數列是等差數列．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）設等比數列的公比為，分和兩種情況討論，結合等比數列的定義判斷即可；

（2）設是公差為的等差數列的前項和，推導出，由推導出，進而可證得結論成立；

（3）利用數列是等差數列結合推導出，再結合數列是等比數列，推導出，由數列是等差數列得出，推導出，并將代入化簡得，從而可證明出數列是等差數列.

（1）設等比數列的公比為，則，

當時，，數列不是等比數列；

當時，因為，所以，所以數列是等比數列；

（2）因為恰好是一個等差數列的前項和，設這個等差數列為，公差為，

因為，所以，

兩式相減得，

因為，

所以，

所以數列是等差數列；

（3）因為數列是等差數列，所以，

又因為，所以，

即 ，則，

又因為數列是等比數列，所以，則，

即，

因為數列各項均為正數，所以，

則，即，

又因為數列是等差數列，所以，

即，化簡得，

將代入得，化簡得，

所以數列是等差數列．