Question

【題目】對于數列{an}，若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱{an}為P數列.

（1）若{an}的前n項和Sn＝3n+2，試判斷{an}是否是P數列，并說明理由；

（2）設數列a1，a2，a3，…，a10是首項為﹣1、公差為d的等差數列，若該數列是P數列，求d的取值范圍；

（3）設無窮數列{an}是首項為a、公比為q的等比數列，有窮數列{bn}，{cn}是從{an}中取出部分項按原來的順序所組成的不同數列，其所有項和分別為T1，T2，求{an}是P數列時a與q所滿足的條件，并證明命題“若a＞0且T1＝T2，則{an}不是P數列”.

Answer 1

【答案】（1）數列{an}是P數列；詳見解析（2）（3）或；證明見解析

【解析】

（1）先求解數列的通項公式，然后結合P數列的特點進行驗證；

（2）先求解數列的通項公式，然后結合P數列的特點列出不等關系，然后進行求解；

（3）根據P數列建立不等關系，求解不等式可得.

（1）∵，

∴，

當n＝1時，a1＝S1＝5，

故，

那么當時，，符合題意，

故數列{an}是P數列.

（2）由題意知，該數列的前n項和為，

由數列a1，a2，a3，…，a10是P數列，可知a2＞S1＝a1，故公差d＞0，

對滿足n＝1，2，3，，9的任意n都成立，則，解得，

故d的取值范圍為.

（3）①若{an}是P數列，則a＝S1＜a2＝aq，

若a＞0，則q＞1，又由an+1＞Sn對一切正整數n都成立，可知，即對一切正整數n都成立，

由，故2﹣q≤0，可得q≥2，；

若a＜0，則q＜1，又由an+1＞Sn對一切正整數n都成立，可知，即（2﹣q）qn＜1對一切正整數n都成立，

又當q∈（﹣∞，﹣1]時，（2﹣q）qn＜1當n＝2時不成立，

故有或，解得，

∴當{an}是P數列時，a與q滿足的條件為或；

②假設{an}是P數列，則由①可知，q≥2，a＞0，且{an}中每一項均為正數，

若{bn}中的每一項都在{cn}中，則由這兩數列是不同數列，可知T1＜T2；

若{cn}中的每一項都在{bn}中，同理可得T1＞T2；

若{bn}中至少有一項不在{cn}中且{cn}中至少有一項不在{bn}中，

設{bn'}，{cn'是將{bn}，{cn}中的公共項去掉之和剩余項依次構成的數列，它們的所有項和分別為T1'，T2'，

不妨設{bn'}，{cn'}中最大的項在{bn'}中，設為am（m≥2），

則T2'≤a1+a2+……+am﹣1＜am≤T1'，故T2'＜T1'，故總有T1≠T2與T1＝T2矛盾，故假設錯誤，原命題正確.