Question

已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，與直線3x-4y+7=0相切，且被軸截得的弦長為，圓C的面積小于13．

（Ⅰ）求圓C的標準方程；

（Ⅱ）設過點M(0，3)的直線l與圓C交于不同的兩點A，B，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）圓C的標準方程為：(x-1)2+y2=4；（Ⅱ）不存在這樣的直線l．

【解析】

試題分析：（I）用待定系數法即可求得圓C的標準方程；（Ⅱ）首先考慮斜率不存在的情況.當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l與圓C相交于不同的兩點，那么Δ>0.由題設及韋達定理可得k與x1、x2之間關系式，進而求出k的值.若k的值滿足Δ>0，則存在；若k的值不滿足Δ>0，則不存在.

試題解析：（I）設圓C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由題意知

解得a=1或a=， 3分

又∵S=πR2<13，

∴a=1，

∴圓C的標準方程為：(x-1)2+y2=4． 6分

（Ⅱ）當斜率不存在時，直線l為：x=0不滿足題意．

當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

又∵l與圓C相交于不同的兩點，

聯立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， 9分

∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，

解得或．

x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=，

，，

假設∥，則，

∴，

解得，假設不成立．

∴不存在這樣的直線l． 13分

考點：1、圓的方程；2、直線與圓的位置關系.