Question

已知圓心為C的圓方程是x²+y²-2y+m=0
（1）如果圓與直線y=0沒有公共點，求實數m的取值范圍；
（2）如果圓過坐標原點，直線l過點P（0，a） （0≤a≤2），且與圓C交于A，B兩點，對于每一個確定的a，當△ABC的面積最大時，記直線l的斜率為k，試求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）將圓方程化為標準方程，列出關于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范圍，再由圓C與直線y=0沒有公共點，得到半徑小于圓心的縱坐標的絕對值，又列出關于m的不等式，求出不等式的解集，即可確定出實數m的范圍；
（2）由圓過原點，將原式坐標代入圓方程求出m的值，確定出圓的方程，進而得出圓心坐標與半徑，當a=1時，直線l過圓心C，三角形ABC不存在，故a不能為1，確定出a的范圍，由題意可設直線l的方程為y=kx+a，△ABC的面積為S，利用三角形的面積公式表示出S，可得當sin∠ACB最大時，S取得最大值，要使sin∠ACB=1，只需點C到直線l的距離等于

2

2

，利用點到直線的距離公式列出關系式，根據完全平方式為非負數，求出a的范圍，根據a的范圍分兩種情況考慮，分別根據二次函數的性質及三角函數的性質求出各自k的值，即可確定出k的最大值．

解答：解：（1）由x²+y²-2y+m=0可得：x²+（y-1）²=1-m，
∵x²+（y-1）²=1-m表示圓，
∴1-m＞0，即m＜1，
又∵圓C與直線y=0沒有公共點，
∴1-m＜1，即m＞0．
綜上，實數m的取值范圍是0＜m＜1；
（2）∵圓C過坐標原點，∴m=0，
∴圓C的方程為x²+（y-1）²=1，圓心C（0，1），半徑為1，
當a=1時，直線l經過圓心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]；
由題意可設直線l的方程為y=kx+a，△ABC的面積為S，
則S=

1

2

|CA|•|CB|•sin∠ACB=

1

2

sin∠ACB，
∴當sin∠ACB最大時，S取得最大值，
要使sin∠ACB=1，只需點C到直線l的距離等于

2

2

，即

|a-1|

k2+1

=

2

2

，
整理得k²=2（a-1）²-1≥0，
解得：a≤1-

2

2

或a≥1+

2

2

，
①當a∈[0，1-

2

2

]∪[1+

2

2

，2]時，sin∠ACB最大值是1，
此時k²=2a²-4a+1，當a=2或a=0時，k取最大值1；
②當a∈（1-

2

2

，1）∪（1，1+

2

2

）時，∠ACB∈（

π

2

，π），
∵y=sinx是（

π

2

，π）上的減函數，
∴當∠ACB最小時，sin∠ACB最大，
過C作CD⊥AB于D，則∠ACD=

1

2

∠ACB，
∴當∠ACD最大時，∠ACB最小，
∵sin∠CAD=

|CD|

|CA|

=|CD|，且∠CAD∈（

π

2

，π），
∴當|CD|最大時，sin∠ACD取得最大值，即∠CAD最大，
∵|CD|≤|CP|，∴當CP⊥l時，|CD|取得最大值|CP|，
∴當△ABC的面積最大時，直線l的斜率k=0，
綜上所述，k的最大值是1．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，正弦函數的單調性，圓的標準方程，以及三角形的面積公式，直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構成直角三角形，利用勾股定理來解決問題．