Question

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．
請在答卷紙指定區域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過點A且與BC邊相切于點D，與AB，AC分別交于E，F，求證：EF∥BC．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R，若矩陣M=[

-1 b

a 3

]所對應的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標系與參數方程將參數方程

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

t為參數）化為普通方程．
D．選修4-5：已知a，b是正數，求證（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥92．

Answer 1

分析：A、連接OD，根據BC是⊙O的切線，可得OD⊥BC，利用AD是角平分線，可得

ED

=

FD

，從而OD⊥EF；
B、根據變換的性質列出一組方程式，即可求解出a，b的值；
C、利用平方相減法，即可化參數方程為普通方程；
D、不等式的左邊，展開利用基本不等式，即可證得．

解答：A．證明：連接OD
∵BC是⊙O的切線，∴OD⊥BC
∵AD是角平分線，∴

ED

=

FD

，∴OD⊥EF
∴EF‖BC
B．解：設P（x，y）為直線2x-y=3上任意一點其在M的作用下變為（x'，y'）
則利用矩陣的乘法可得：x′=-x+ay，y′=bx+3y  代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3其與2x-y=3完全一樣．
故得

-b-2=2 2a-3=-1

，∴b=-4，a=1  
C．解：由

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

可得

x 2 =t+ 1 t ① y 4 =t- 1 t ②

①²-②²可得

x2

4

-

y2

16

=4，∴

x2

16

-

y2

64

=1
D．證明：（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）=2ab+

1

2ab

+2+

1

2

∵a，b是正數，∴2ab+

1

2ab

≥2
∴2ab+

1

2ab

+2+

1

2

≥

9

2

∴（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

點評：本題考查選修知識，考查幾何證明選講、矩陣變換、參數方程、不等式的證明，知識點較多．