Question

16、給出下列命題：
①關于x的的不等式（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的解集為R的充要條件是2＜a＜6；
②我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合{1，3，5，7，9}的“孫集”有26個．
③已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若方程f（x）無實數根，則方程f[f（x）]=x也一定沒有實數根；
④若{a_n}成等比數列，S_n是前n項和，則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比數列．
其中正確命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：根據題意，依次分析命題：①首先對a-2進行討論，a-2=0時，恒成立；a-2≠0時，在解答的過程當中，要先將所給的條件由二次不等式問題轉化為二次函數問題，從而獲得相應參數a的范圍②正確理解“孫集”的含義，很容易計算出“孫集”個數；③方程f（x）無實根，即ax²+bx+c=0無實根，則可知△＜0，推出結論；④運用等比數列的性質，進行推論；綜合可得答案．

解答：解：①當a-2=0即a=2時，不等式（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的解集為R
當a-2≠0是，設一元二次函數y=（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的圖象開口向上，且x軸無交點．所以對于一元二次方程（a-2）x²+（a-2）x+1＞0必有△=（a-2）²-4（a-2）＜0解得：2＜a＜6
∴關于x的的不等式（a-2）x²+（a-2）x+1＞0的解集為R的充要條件是2≤a＜6．則判斷命題①正確．
②集合{1，3，5，7，9}的“孫集”有：φ，單元數集5個．2元素集C₅²=10個，3元素集C₅³=10個，共26個．則判斷命題②正確．
③f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若方程f（x）無實數根，即ax²+bx+c=0（a≠0）無實根，則可知△＜0，則判斷命題③正確．
④若{a_n}成等比數列，S_n是前n項和，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比數列，所以S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比數列，則判斷命題④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了充要條件的問題、真子集、二次函數以及等比數列的性質．解答過程當中要注意與一元二次不等式、一元二次函數以及一元二次方程的知識相聯系．