Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

6

），給出下列命題：
①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
②圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱
③函數(shù)f（x）的最大值是3
④函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-

π

4

，

π

4

]
其中正確命題的序號(hào)為

②③

．

Answer 1

分析：利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性及最值等性質(zhì)對(duì)①②③④逐個(gè)判斷即可．

解答：解：∵f（x）=3sin（2x+

π

6

），
∴f（0）=

3

2

≠0，
∴其圖象不關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

6

）的對(duì)稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
當(dāng)k=0時(shí)，x=

π

6

，
∴其圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，即②正確；
又當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）取到最大值3，故③正確；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

6

）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-

π

3

，

π

6

]，故④函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-

π

4

，

π

4

]錯(cuò)誤．
綜上所述，正確命題的序號(hào)為②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：不同考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性及最值，屬于中檔題．