Question

已知函數f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減．
（1）求a的值；
（2）若斜率為24的直線是曲線y=f（x）的切線，求此直線方程；
（3）是否存在實數b，使得函數g（x）=bx²-1的圖象與函數f（x）的圖象恰有2個不同交點？若存在，求出實數b的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數的單調區間知：x=1是函數的極值點，則f′（1）=0，由此可解得a值；
（2）求其切線方程，只需求出切點即可，由題意知f′（x）=24，解出x即為切點橫坐標，從而求出切點；
（3）函數g（x）=bx²-1的圖象與函數f（x）的圖象恰有2個不同交點，等價于方程f（x）-g（x）=0有兩個不同的解，從而問題轉化為討論方程解的問題解決．

解答：解：（1）f'（x）=4x³-12x²+2ax，
由函數f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減，
知：x=1是函數f（x）的極大值點，所以f'（1）=0，解得a=4．
故a=4．
（2）由（1）知：f'（x）=4x³-12x²+8x，
令f'（x）=24，即x³-3x²+2x-6=0，（x-3）（x²+2）=0，
∴x=3，則切點為（3，8），
此切線方程為：y-8=24（x-3），即y=24x-64．
（3）令h（x）=f（x）-g（x），則h（x）=x⁴-4x³+（4-b）x²=x²（x²-4x+4-b），
由h（x）=0得：x=0，或x²-4x+4-b=0．--------（*）△=（-4）²-4（4-b）=4b，
①當△＜0，即b＜0時，（*）無實根，f（x）與g（x）的圖象只有1個交點；
②當△=0，即b=0時，（*）的實數解為x=2，f（x）與g （x）的圖象有2個交點；
③當△＞0，即b＞0時，若x=0是（*）的根，則b=4，方程的另一根為x=4，此時，f（x）與g（x）的圖象有2個交點；
當b＞0且b≠4時，f（x）與g（x）的圖象有3個不同交點．
綜上，存在實數b=0或4，使函數f（x）與g（x）的圖象恰有2個不同交點．

點評：本題考查導數的幾何意義及應用導數研究函數的極值、單調性問題，考查了分類討論思想、函數與方程思想及轉化思想在解決問題中的運用．