【題目】黃河被稱為我國的母親河，它的得名據說來自于河水的顏色，黃河因攜帶大量泥沙所以河水呈現黃色， 黃河的水源來自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流經黃土高原，又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水逐漸變得渾濁.在劉家峽水庫附近，清澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合，在兩條河流的交匯處，水的顏色一清一濁，互不交融，涇渭分明，形成了一條奇特的水中分界線，設黃河和洮河在汛期的水流量均為2000
，黃河水的含沙量為
，洮河水的含沙量為
，假設從交匯處開始沿岸設有若干個觀測點，兩股河水在流經相鄰的觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股河水在1秒內交換
的水量，即從洮河流入黃河的水混合后，又從黃河流入的水到洮河再混合.
（1）求經過第二個觀測點時，兩股河水的含沙量；
（2）從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于
?（不考慮泥沙沉淀）
【答案】（1）洮河水的含沙量為
，黃河水的含沙量為
.（2）第8個觀測點
【解析】
（1）用
，
分別表示河流在經過第n個觀測點時，洮河水和黃河水的含沙量，則
，
，利用遞推關系求出
即可得結果；（2）由題意可知
，
， 兩式結合化簡可得數列
是以18為首項，
為公比的等比數列， 求出通項公式，解不等式即可得結果.
（1）用，分別表示河流在經過第n個觀測點時，洮河水和黃河水的含沙量，
則，.
由題意可知，
，
，
即經過第二個觀測點時，洮河水的含沙量為，黃河水的含沙量為.
（2）由題意可知
，
，
由于題目中問題考慮河水中含沙量之差，故可考慮數列，
由上式可知，
，
，
所以數列是以18為首項，為公比的等比數列，
則
，令
則
，
，
即從第8個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于
.
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【題目】選修4-4 坐標系與參數方程
已知曲線
的極坐標方程為
，曲線
的參數方程為
（
為參數），曲線
的參數方程為
（
為參數）.
（Ⅰ）若曲線與無公共點，求正實數
的取值范圍；
（Ⅱ）若曲線的參數方程中，
，且曲線與交于
，
兩點，求
.
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【題目】如圖，拋物線的頂點
在坐標原點，焦點在
軸負半軸上，過點
作直線
與拋物線相交于
兩點，且滿足
.
（1）求直線和拋物線的方程；
（2）當拋物線上一動點
從點
運動到點
時，求
面積的最大值.
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【題目】下列說法正確的是（ ）
A. 若
為真命題，則
，
均為假命題；
B. 命題“
，
”的否定是“
，
”；
C. 等比數列
的前
項和為
，若“
”則“
”的否命題為真命題；
D. “平面向量
與
的夾角為鈍角”的充要條件是“
”；
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【題目】設等差數列
的前
項和為
，已知
，且
.
（1）求的通項公式.
（2）設
，數列
的前項和為
，求使不等式
成立的最小的正整數
.
（3）設
.若數列
單調遞增.
①求
的取值范圍.
②若是符合條件的最小正整數，那么中是否存在三項
依次成等差數列?若存在，給出
的值.若不存在，說明理由.
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【題目】下列命題為真命題的序號是__________.
①“若
則
”是真命題.
②“若
則
”的逆命題是真命題.
③
，“
”是“
”的充分不必要條件.
④“
”是“直線
與直線
互相垂直”的充要條件.
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，直線
過原點且傾斜角為
.以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線
的極坐標方程為
.在平面直角坐標系中，曲線與曲線
關于直線
對稱.
（Ⅰ）求曲線的極坐標方程；
（Ⅱ）若直線
過原點且傾斜角為
，設直線與曲線相交于，
兩點，直線與曲線相交于，
兩點，當
變化時，求
面積的最大值.
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【題目】已知橢圓
的離心率
，且橢圓過點
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設直線
與交于
，
兩點，點
在上，
是坐標原點，若
，判斷四邊形
的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.
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