Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，直線過原點且傾斜角為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.在平面直角坐標系中，曲線與曲線關于直線對稱.

（Ⅰ）求曲線的極坐標方程；

（Ⅱ）若直線過原點且傾斜角為，設直線與曲線相交于，兩點，直線與曲線相交于，兩點，當變化時，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)法一：將化為直角坐標方程，根據對稱關系用上的點表示出上點的坐標，代入方程得到的直角坐標方程，再化為極坐標方程；法二：將化為極坐標方程，根據對稱關系將上的點用上的點坐標表示出來，代入極坐標方程即可得到結果；(Ⅱ)利用和的極坐標方程與的極坐標方程經坐標用表示，將所求面積表示為與有關的三角函數解析式，通過三角函數值域求解方法求出所求最值.

(Ⅰ)法一：由題可知，的直角坐標方程為：，

設曲線上任意一點關于直線對稱點為，

所以

又因為，即，

所以曲線的極坐標方程為：

法二：由題可知，的極坐標方程為： ，

設曲線上一點關于 的對稱點為，

所以

又因為，即，

所以曲線的極坐標方程為：

(Ⅱ)直線的極坐標方程為：，直線的極坐標方程為：

設，

所以解得，解得

因為：，所以

當即時，，取得最大值為：