Question

如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點、在軸上（但不屬于），對上任一點及點，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點．

（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求的最小值（用表示）；

Answer 1

（I）.（II）.

解析試題分析：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，
利用的關系，得到的方程為.
要特別注意有限制.
（II）設并代入橢圓方程得到，根據，，可以得到直線的方程，進一步令可得，的縱坐標分別，將用縱坐標表出，應用“基本不等式”，得到其最小值.
本解答即體現此類問題的一般解法“設而不求”，又反映數學知識的靈活應用.
試題解析：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，
. 
∴的方程為.          4分
（注：不寫區間“”扣1分）
（II）由（I）知，曲線的方程為，設，
則有，即 ①   
又，，從而直線的方程為
AP：；   BP：         6分
令得，的縱坐標分別為
；     .
∴②  將①代入②， 得.        8分
∴.
當且僅當，即時，取等號．
即的最小值是.        12分
考點：橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，基本不等式的應用.