Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，點在此拋物線上，，不過原點的直線與拋物線C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓M過坐標原點．

(1)求拋物線C的方程；

(2)證明：直線恒過定點；

(3)若線段AB中點的縱坐標為2，求此時直線和圓M的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點；（3），

【解析】

（1）根據拋物線的定義，將轉化為拋物線上的點到準線的距離，從而求出，得到拋物線方程.

（2）直線與拋物線聯立，得到，然后利用以為直徑的圓過坐標原點，即,代入，求出斜率與截距的關系，得到直線過的定點.

（3）根據中點坐標，求出直線的斜率，得到直線方程，再求出長度，即圓的半徑，得到圓的方程.

（1）拋物線，其準線為

點在此拋物線上，，

點到準線的距離等于,即，得

所求拋物線方程為

（2）①當直線斜率存在時，設直線的方程為，，易知.

聯立方程組得，從而可得方程

由題意可知

所以

因為以為直徑的圓過坐標原點，

所以，即，所以，所以.

所以直線的方程為，即，所以直線恒過定點.

②當直線的斜率不存在時，易求得點坐標分別為，，直線也過點.

綜合①②可知，直線恒過定點.

（3）由題意可知直線斜率存在，設線段中點坐標為

由（2）中所得，

則

所以，解得

所以直線方程為.

因為線段中點坐標為，即為圓的圓心坐標，

設圓 .

代入，得

所以圓的方程為