Question

班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班25名女同學(xué)，15名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析．若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如下表：

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95

根據(jù)如表數(shù)據(jù)用變量y與x的相關(guān)關(guān)系
（1）畫出樣本的散點(diǎn)圖，并說明物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？
（2）求y與x的線性回歸直線方程（系數(shù)精確到0.01），并指出某個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)83分，物理約為多少分？
參考公式：回歸直線的方程是：

?

y

=bx+a，
其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

；其中

?

y

i是與x_i對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值．
參考數(shù)據(jù)：

.

x

=77.5，

.

y

=85，

8

i=1

(x1-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(x1-

.

x

)(y1-

.

y

)≈688．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的這一組數(shù)據(jù)，得到8個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，把這幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到散點(diǎn)圖，從散點(diǎn)圖可以看出，這兩個(gè)兩之間是正相關(guān)．
（2）根據(jù)題目最后所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數(shù)b，根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，得到a的值，寫出線性回歸方程，預(yù)報(bào)出要求的值．

解答：解：（1）畫樣本散點(diǎn)圖如下：
由圖可知：物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間是正相關(guān)關(guān)系
（2）從散點(diǎn)圖中可以看出，這些點(diǎn)分布在一條直線附近，因此可以用公式計(jì)算
由

8

i=1

(x1-

.

x

)(y1-

.

y

)≈688，

8

i=1

(x1-

.

x

)2≈1050，
得b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

=

688

1050

≈0.66
由

.

x

=77.5，

.

y

=85，
得a=

.

y

-b

.

x

=85-0.66×77.5≈33.85
∴回歸直線方程為

?

y

=0.66x+33.85
當(dāng)x=83時(shí)，

?

y

=0.66×83+33.85=88.63
因此某學(xué)生數(shù)學(xué)83分時(shí)，物理約為89分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程，考查散點(diǎn)圖，考查利用線性回歸方程預(yù)報(bào)y的值，本題是一個(gè)適合出現(xiàn)在高考卷中的題目，題目的數(shù)據(jù)雖然多，但是本題給出了所有的結(jié)果，只剩下代入公式求解．