Question

班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，則樣本中男、女生各有多少人；
（2）隨機抽取8位同學，數學分數依次為：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成績依次為：72，77，80，84，88，90，93，95，
①若規定80分（含80分）以上為良好，90分（含90分）以上為優秀，在良好的條件下，求兩科均為優秀的概率；
②若這8位同學的數學、物理分數事實上對應下表：
根據上表數據可知，變量y與x之間具有較強的線性相關關系，求出y與x的線性回歸方程（系數精確到0.01）．（參考公式：

y

=bx+a，其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

；參考數據：

.

x

=77.5，

.

y

=84.875，

8

i=1

(xi-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)≈688，

1050

≈32.4，

457

≈21.4，

550

≈23.5）

Answer 1

分析：（1）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析，做出女生和男生在總人數中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結果．
（2）①這是一個條件概率，在良好的條件下，兩科均為優秀，根據等可能事件的概率和相互獨立事件同時發生的概率做出一個學生兩科都良好的概率，和兩科都優秀的概率，利用條件概率公式得到結果．
②首先求出兩個變量的平均數，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，把做出的系數和x，y的平均數代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結果．

解答：解：（1）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析
抽取男生數

25

40

×8=5人，

15

40

×8=3
（2）①規定80分（含80分）以上為良好，90分（含90分）以上為優秀，
這是一個條件概率，在良好的條件下，兩科均為優秀，
一個學生兩科都良好的概率是

4

8

×

6

8

=

3

8

兩科都優秀的概率是

2

8

×

3

8

=

3

32

在良好的條件下，兩科均為優秀的概率為

3 32

3 8

=

1

4

②

.

x

=

60+65+70+75+80+85+90+95

8

=77.5

.

y

=

72+77+80+84+88+90+93+95

8

=84.8
b≈0.655，a≈34.11
則線性回歸方程為：y=0.655x+34.11

點評：本題考查線性回歸分析的初步應用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查利用數學知識解決實際問題的能力，是一個比較好的綜合題目．