Question

（2013•深圳一模）已知函數f(x)=2sin(

πx

6

+

π

3

)(0≤x≤5)，點A、B分別是函數y=f（x）圖象上的最高點和最低點．
（1）求點A、B的坐標以及

OA

•

OB

的值；
（2）設點A、B分別在角α、β的終邊上，求tan（α-2β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據x的范圍以及正弦函數的定義域和值域，求得-

1

2

≤sin(

πx

6

+

π

3

)≤1，由此求得圖象上的最高頂、最低點的坐標及

OA

•

OB

的值．
（2）由點A（1，2）、B（5，-1）分別在角α、β的終邊上，求得tanα、tanβ的值，從而利用二倍角公式求得tan2β的值，再利用兩角和的正切公式求得tan（α-2β）的值．

解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴

π

3

≤

πx

6

+

π

3

≤

7π

6

，…（1分）
∴-

1

2

≤sin(

πx

6

+

π

3

)≤1．  …（2分）
當

πx

6

+

π

3

=

π

2

，即x=1時，sin(

πx

6

+

π

3

)=1，f（x）取得最大值2；
當

πx

6

+

π

3

=

7π

6

，即x=5時，sin(

πx

6

+

π

3

)=-

1

2

，f（x）取得最小值-1．
因此，點A、B的坐標分別是A（1，2）、B（5，-1）．   …（4分）
∴

OA

•

OB

=1×5+2×(-1)=3．   …（6分）
（2）∵點A（1，2）、B（5，-1）分別在角α、β的終邊上，
∴tanα=2，tanβ=-

1

5

，…（8分）
∵tan2β=

2×(- 1 5 )

1-(- 1 5 )2

=-

5

12

，…（10分）
∴tan(α-2β)=

2-(- 5 12 )

1+2•(- 5 12 )

=

29

2

． …（12分）

點評：本小題主要考查了三角函數f（x）=Asin（ωx+?）的圖象與性質，三角恒等變換，以及平面向量的數量積等基礎知識，
考查了簡單的數學運算能力，屬于中檔題．