Question

（（12分）已知函數(shù).

(Ⅰ) 若數(shù)列{a_n}的首項為a₁=1，(n??N₊)，求{a_n}的通項公式a_n；

 (Ⅱ) 設b_n=a_n+1²+a_n+2²+??+a_2n+1²，是否存在最小的正整數(shù)k，使對于任意n??N₊有b_n<成立. 若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）（Ⅱ）k=8

解析:

解：（Ⅰ）∵， ∴   由y=解得：    ∴  …（3分） 

（Ⅱ）由題意得：  ∴                   

∴{}是以=1為首項，以4為公差的等差數(shù)列.  ∴，  ∴. 

（Ⅲ）∴

則

∴

∴，∴ {b_n}是一單調(diào)遞減數(shù)列.∴，要使，則 ，

∴又k??N^*  ，∴k??8 ，∴k_min=8即存在最小的正整數(shù)k=8，使得  …（12分）