Question

如圖，已知拋物線C的頂點在原點，開口向右，過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦長為2，過C上一點A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點.

（1）若直線PQ過定點，求點A的坐標；
（2）對于第（1）問的點A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個數；若不能，說明理由.

Answer 1

（1）,（2）一個

試題分析：（1）確定拋物線標準方程只需一個獨立條件，本題條件為已知通徑長所以拋物線的方程為.直線過定點問題，實際是一個等式恒成立問題.解決問題的核心是建立變量的一個等式.可以考慮將直線的斜率列為變量，為避開討論，可設的方程為，與聯立消得，則，設點坐標為，則有，代入化簡得：因此，點坐標為，（2）若三角形APQ為等腰直角三角形，則的中點與點A連線垂直于.先求出的中點坐標為，再討論方程解的個數，這就轉化為研究函數增減性，并利用零點存在定理判斷零點有且只有一個.
試題解析：(1)設拋物線的方程為,依題意,,
則所求拋物線的方程為.                  (2分)
設直線的方程為,點、的坐標分別為.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
設點坐標為,則有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直線過定點,即,代入上式得
注意到上式對任意都成立,
故有,從而點坐標為.                (8分)
(2)假設存在以為底邊的等腰直角三角形,由第（1）問可知,將用代換得直線的方程為.設,
由消,得.
∴ ,.
∵的中點坐標為,即,
∵,∴的中點坐標為.
由已知得,即.
設,則,
在上是增函數.又,,
在內有一個零點.函數在上有且只有一個零點,
所以滿足條件的等腰直角三角形有且只有一個.            (12分)