Question

設f（x）是定義在R上的一個增函數，F（x）=f（x）-f（-x），那么F（x）為

1. A.
   增函數且是奇函數
2. B.
   增函數且是偶函數
3. C.
   減函數且是奇函數
4. D.
   減函數且是偶函數

Answer 1

A
分析：用定義驗證奇偶性，再根據單調性的判斷規則確定函數的單調性即可
解答：∵F（x）=f（x）-f（-x），∴F（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-F（x），∴F（x）必定是奇函數．
又f（x）是定義在R上的任意一個增函數，由復合函數的單調性知f（-x）是定義在R上的任意一個減函數，
故f（x）-f（-x）是一個增函數
故F（x）為增函數且為奇函數
故選A
點評：題考查函數奇偶性的判斷以及函數單調性的判斷，屬于函數性質中的基本題型．題目難度較小，其中判斷函數的單調性用上了判斷規律，要注意總結規律．