Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f（x+2）=-f（x）．當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²+a（a是常數）．則x∈[2，4]時的解析式為（　　）

• A、f（x）=-x²+6x-8
• B、f（x）=x²-10x+24
• C、f（x）=x²-6x+8
• D、f（x）=x²-6x+8+a

Answer 1

分析：由f（x+2）=-f（x），得出4是f（x）的周期；由f（x）是R上的奇函數，得出f（0）=a=0；
由x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²，求出x∈[-2，0]時，f（x）的解析式，從而求出x∈[2，4]時，f（x）的解析式．

解答：解：∵對任意實數x，恒有f（x+2）=-f（x）；
∴用x+2代替x，則f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
即f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數；又∵f（x）是定義在R上的奇函數，且x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²+a，
∴f（0）=a=0，∴f（x）=2x-x²；
當x∈[-2，0]時，-x∈[0，2]，
∴f（x）=-f（-x）=-[2（-x）-（-x）²]=2x+x²；
∴當 x∈[2，4]時，x-4∈[-2，0]，
∴f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=x²-6x+8；
又∵f（x）的周期是4，∴f（x）=f（x-4）=x²-6x+8，
∴在x∈[2，4]時，f（x）=x²-6x+8；
故選：D．

點評：本題考查了函數的奇偶性和周期性以及解析式的求法，是易錯題．