Question

如圖，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側面AA₁B₁B⊥底面ABC，側棱AA₁與底面ABC成60⁰的角，AA₁=2．底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點．E是線段BC₁上一點，且BE=BC₁．

(1)求證：GE∥側面AA₁B₁B；

(2)求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(1)延長B1E交BC于F，　∵ΔB1EC∽ΔFEB，BE＝EC1 ∴BF＝B1C1＝BC，從而F為BC的中點． ∵G為ΔABC的重心，∴A、G、F三點共線，且＝＝，∴GE∥AB1， 又GE側面AA1B1B，∴GE∥側面AA1B1B (2)在側面AA1B1B內，過B1作B1H⊥AB，垂足為H，∵側面AA1B1B⊥底面ABC，∴B1H⊥底面ABC．又側棱AA1與底面ABC成60°的角，AA1=2， ∴∠B1BH＝60°，BH＝1，B1H＝． 在底面ABC內，過H作HT⊥AF，垂足為T，連B1T．由三垂線定理有， 又平面B1GE與底面ABC的交線為AF，∴∠B1TH為所求二面角的平面角． ∴AH＝AB＋BH＝3，∠HAT＝30°，　∴HT＝AHsin30°＝， 在RTΔB1HT中，tan∠B1TH＝＝， 從而平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為arctan 解法2：(1)∵側面AA1B1B⊥底面ABC，側棱AA1與底面ABC成60°的角， ∴∠A1AB＝60°，又AA1=AB=2，取AB的中點Ｏ，則AＯ⊥底面ABC． 以O為原點建立空間直角坐標系O－xyz如圖， 則A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)， A1(0，0，)B1(0，2，)，C1(，1，)． ∵G為ΔABC的重心，∴G(，0，0)，　　∵＝ ∴E(，1，)∴＝(0，1，)＝， 又GE側面AA1B1B，　∴GE∥側面AA1B1B (2)設平面B1GE的法向量為， 則由及得； ． 可取． 又底面ABC的法向量為， 設平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為， 則cos＝＝，∴＝arccos.