Question

（2009•連云港二模）已知函數f（x）=kx+m，當x∈[a₁，b₁]時，f（x）的值域為[a₂，b₂]，當x∈[a₂，b₂]時，f（x）的值域為[a₃，b₃]，依此類推，一般地，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，其中k、m為常數，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若k＞0且k≠1，問是否存在常數m，使數列{b_n}是公比不為1的等比數列？請說明理由；
（3）若k＜0，設數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）．

Answer 1

分析：（1）直接把k=1代入，利用函數的單調性即可求出a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m進而求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）利用函數的單調性即可求出b_n=kb_n-1+m，然后讓其滿足等比數列的定義，求出對應的常數m即可．
（3）利用函數的單調性即可求出a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m，再求出b_n-a_n的表達式，就可推得（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）．

解答：解（1）因為f（x）=x+m，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數，
所以其值域為[a_n-1+m，b_n-1+m]，
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）．
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．
（2）因為f（x）=kx+m（k＞0），當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數，
所以f（x）的值域為[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，所以b_n=kb_n-1+m（n∈N^*，n≥2）．
要使數列{b_n}為等比數列，

bn

bn-1

=k+

m

bn-1

必須為與n無關的常數．
又b₁=1，k＞0，k≠1，
故當且僅當m=0時，數列{b_n}是公比不為1的等比數列．
（本題考生若先確定m=0，再證此時數列{b_n}是公比不為1的等比數列，給全分）
（3）因為k＜0，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調減函數，
所以f（x）的值域為[kb_n-1+m，ka_n-1+m]，
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）．
所以b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）=（-k）²（b_n-2-a_n-2）═（-k）^n-1（b₁-a₁）=（-k）^n-1．
所以Ti-Si=

i

j=1

(bj-aj)=

i

j=1

(-k)j-1=

i  k=-1 1-(-k)i 1+k   k＜0  k≠-1.

故（T₁+T₂++T₂₀₀₈）-（S₁+S₂++S₂₀₀₈）
=

2008

i=1

(Ti-Si)=

2008

i=1

i

j=1

(bj-aj)=

2017036  k=-1 2008+2009k-k2009 (1+k)2 ，k＜0  k≠-1.

點評：本題的前2問還是比較基礎的，但第3問就有點復雜．考查的知識點不難，過程有些費勁．若是學有余力的學生可以繼續深究．