Question

（2009•連云港二模）求曲線y=-x³+x²+2x與x軸所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：先求出函數y=-x³+x²+2x的零點求出積分的上下限，然后從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可．

解答：解：令y=-x³+x²+2x=0得：
函數y=-x³+x²+2x的零點：
x₁=-1，x₂=0，x₃=2．…（4分）
又判斷出在（-1，0）內，圖形在x軸下方，
在（0，2）內，圖形在x軸上方，
所以所求面積為：
A=-

∫

0 -1

(-x3+x2+2x)dx+

∫

2 0

(-x3+x2+2x)dx
=（

1

4

x⁴-

1

3

x³-x²）|_-1⁰+（-

1

4

x⁴+

1

3

x³+x²）|₀²
=

37

12

…（10分）

點評：本題主要考查了定積分在求面積中的應用，同時考查了學生會求出原函數的能力，以及考查了數形結合的思想，同時會利用定積分求圖形面積的能力，屬于基礎題．